어떨 때 composite key를 사용해야 할까
만약 숫자 a가 n의 약수라면, na도 n의 약수입니다. 이 두 개의 약수 중 하나가 radicn보다. 작거나 같습니다. 1부터 radicn까지의 모든 숫자를 반복하면 모든 약수을 찾을 수 있습니다.
p를 나누는 수는 1과 p뿐이므로 이면 ad in mathbbZ이고 pd in mathbbZ인 d in mathbbZ는 d 1이 되어 1입니다. rcdot a equiv scdot a pmodp이고 rne s인 r,s 1,2,cdots, p1가 존재한다고 가정하면 cfracpgcda,p p에 관하여 로 r equiv s pmodp가 되어 모순이므로 rne s인 모든 r,s 1,2,cdots, p1에 관하여 rcdot a not equiv scdot a pmodp입니다.
aq equiv a pmodp이고 aq에 관하여 위 로 aqp equiv aq pmodp이므로 apcdot q equiv a pmodp가 되어 입니다. 또 ap equiv a pmodq이고 ap에 관하여 위 로 apq equiv ap pmodq이므로 apcdot q equiv a pmodq가 되어 입니다. 이기 위한 필요충분조건은 a 1이거나 a p 1인 것입니다. a 1이거나 a p 1이면 a 1일때 a2 1이고 a p1일때 p12 p2 2cdot p 1이므로 a2 equiv 1 pmodp입니다.
모든 n in mathbbZ에 관하여 2 p1 1le n 1 인 모든 n in mathbbZ에 관하여 2 p1 le pn1 위 로 가 되는 k in mathbbZ가 존재합니다. p1cdot p2 cdot cdots cdot pn1 1 pkcdot q1인 양의 정수 q1 in mathbbZ가 존재하고 1pk in mathbbZ이면 로 pk 1이 되어 모순입니다.
그러므로 인 k in mathbbZ는 n le k이고 pn은 하므로 로 pnle pk le p1cdot p2 cdot cdots cdot pn1 1입니다. $n in mathbb{Z}^+$에 대한 을 사용합니다.
n in mathbbZ에 대한 을 사용합니다. n 1일때는 자명하게 성립합니다. 모든 k in mathbbZ에 관하여 정리가 성립한다고 가정하고 임의의 정수 a1, a2, cdots, ak, ak1 in mathbbZ에 관하여 이면 귀납가정으로 ai pin mathbbZ인 i 1,2,cdots, k가 존재하여 모든 n in mathbbZ에 관하여 정리가 성립합니다. 1번으로 인 m 1,2,cdots, n이 존재하고 qm이 이므로 p 1 아니면 p qm인데 p가 이므로 p ne 1이 되어 p qm입니다.
p in mathbbZ가 소수일때 p 2이면 2 1 1 1 1 2 1cdot 2이므로 입니다. p 3이면 3 1 1 2 1 3 1cdot 3이므로 3 1 equiv 1 pmod3입니다. 3이면 p ge 5이고 acdot x0 equiv 1 pmodp인 모든 x0 in mathbbZ에 관하여 x equiv x0 pmodp입니다. 또 x equiv 0 pmodp이면 acdot x equiv 0 pmodp이 되어 모순이므로 acdot x equiv 1 pmodp인 x 1,2,3, cdots, p1가 존재합니다.
x2 1 equiv 0 pmodp인 x in mathbbZ가 존재할때 x2 equiv 1 pmodp 이고 이면 x equiv 0 pmodp이므로 x2 equiv 0 pmodp으로 모순이 되어 이고 p가 소수이므로 로 xp1 1pmodp입니다. p 2이므로 위 와 로 p 1은 짝수이므로 cfracp12는 양의 정수가 되어 로 x2fracp12 equiv 1fracp12 pmodp이고 cfracp12가 이면 beginalign 1 equiv xp1 pmodp equiv x2fracp12 pmodp equiv 1fracp12 pmodp endalign 이므로 이 되어 이고 로 p le2이므로 p 2에 모순입니다.